Jan Šťáva sa od útlej mladosti profesionálne venuje spevu, najmä pod vedením svojej matky, učiteľky spevu a opernej speváčky Zdeňky Rybeckej. V rokoch 2007–2012 na brnianskej Janáčkovej akadémii múzických umení študoval v triede Zdenka Šmukařa. Od januára 2010 je členom Janáčkovej opery Národného divadla v Brne, kde k jeho repertoáru patria úlohy ako Mefistofeles (Faust), Leporello (Don Giovanni), Don Alfonso (Cosí fan tutte), Kráľ (Aida), Gremin (Eugen Onegin), Basilio ( Lazobník sevillský), Kecal (Predaná nevesta), Paloucký (Hubička), Alvisa Badoero (La Gioconda) alebo Ochs (Gavalier s ružou). V roku 2011 debutoval v pražskom Národnom divadle rolou Osmina (Únos zo Serailu). Odvtedy tu vystúpil aj v rade iných postáv, okrem iného ako Leporello (Don Giovanni), Kráľ (Aida), Figaro a Bartolo (Figarova svadba), Sarastro (Čarovná flauta) alebo Sparafucile (Rigoletto). Je aj stálym hosťom opery Národného divadla moravskosliezskeho v Ostrave, kde stvárnil napríklad Collina (Bohéma), kráľa Hydraota (Armida), Claudia (Hamlet), Markíza (Mirandolina) alebo Kecala (Predaná nevesta), ktorým sa tiež prezentoval pri otvorení Nového divadla Plzni v sezóne 2014/15. V zahraničí pôsobil okrem iného v Opéra de Paris, v operných domoch v Montpellier a Nantes/Angers opéra, pre ktoré naštudoval rolu Osmina (Únos zo serailu), ďalej v Opéra de Toulon (Alidoro v Rossiniho Popoluške) či Opéra National de Lorraine v Nancy .

Koncertne spolupracoval s orchestrami ako BBC Symphony Orchestra, Orchestre National de Lyon, Philharmónia Leipzig, Beethoven Orchestra Bonn, Radio Symphony Orchestra Hannover, Česká filharmónia, Pražská komorná filharmónia či Janáčkova filharmónia Ostrava a pravidelne vystupuje na Pražskej jari a Smetanovej Litomyšli. K jeho koncertnému repertoáru patria napríklad basové party v dielach Bacha (Vianočné oratórium, Jánove pašie), Haydna (Stvorenie), Mozarta, Dvořáka či Verdiho (Requiem). V tohtoročnej sezóne sa predstaví aj ako Kecal (Juhočeské divadlo v Českých Budějoviciach), Kuchárka (Láska k trom pomarančom) a Beneš (Dalibor) v Národnom divadle Praha, či Lutobor (Libuša) a Farár (Príhody líšky Bystroušky) v Národnom divadle.